一、基礎原理

我們從小學就知道，磁鐵分N極和S極，磁力線從N極出發，最后回到S極;磁鐵同極相斥，異極相吸。磁鐵磁極之間的相互作用示意圖如下：

利用磁極之間的相互作用力，理論上我們可以移動一個磁極，讓另外一個磁極跟著運動，如果第一個磁極旋轉的話，另一個磁極也會跟著旋轉。但是這樣無法稱之為電機，因為旋轉一個磁極需要的是機械能，這樣本質上是機械能之間的轉換，不是電能和機械能之間的轉換。那怎么辦呢?

安培定律告訴我們，磁場本質是由電流產生的，我們想要的是磁場之間的相互作用，因此主要有電流即可，一個很自然的想法就是：能不能將兩個磁場中的一個用線圈來產生呢?——當然可以，永磁同步電機就是這么干的，具體見下圖：

我們一般將永磁體放在轉子上，定子是一個線圈，線圈通電后，也會產生一個磁場。根據我們的直觀感覺，很容易得出如下結論：

當兩個磁場軸線正對著的時候(上圖左)，磁場之間有相互吸引力，這個力是徑向的，不會產生轉矩。

當兩個磁場軸線有一定夾角的時候(上圖中)，磁場之間有相互吸引力，但是這個力既有徑向分量，也有切向分量，因此會產生一定的轉矩。

當兩個磁場軸線垂直的時候(上圖右)，磁場之間有相互吸引力，但是這個力主要是切向分量，因此產生轉矩最大。

當然，真正的電機是不會直接拿線圈和永磁體直接相吸的，這樣效率太低，一般是將線圈繞在磁軛上，磁軛是軟磁體，起著導磁的作用，如下圖所示。

電機要連續旋轉 ，一定要有一個旋轉的磁場。那旋轉磁場從何而來?

二、坐標變換

首先是比較容易理解的 ABC 坐標系，可能很多人都聽說過類似于“abc坐標系是定子坐標系”,“abc坐標系中三個坐標軸的方向對應定子繞組的方向”的說法。對于這一點，我們結合電機結構來理解。

以一對極的永磁同步電機為例，三相定子繞組繞在在空間上間隔120度的鐵芯槽中，當定子線圈通電流后，將產生徑向的磁通，對于任意一個定子繞組，產生的磁通方向總是沿著這一繞組鐵芯的方向，產生的磁通的大小跟通向這一繞組的電流大小以及導磁材料有關，當導磁材料確定下來后，產生的磁通大小僅和電流相關(忽略導磁材料飽和)。 接下來我們考慮通電流后的情況，為了和常見的abc坐標系保持一致，把上述電機結構示意圖順時針旋轉90度，沿定子鐵芯方向繪制abc坐標系，在三個定子繞組分別通相位差120度的交流電，每相電流在沿鐵芯方向產生的磁通正比與通入的電流的大小，我們對每相電流產生的磁通隨通入電流變化的過程繪圖。

圖中，通向三個定子繞組的電流產生的磁通一直沿每相坐標軸的方向，且產生的磁通大小正比于當前時刻的電流，距離原點的距離反映了當前時刻磁通的大小。如果對三個繞組產生的磁通進行矢量合成，可以看到，隨著時間的變化，合成矢量的軌跡為一個圓，且這個圓的半徑等于任意一相電流所產生磁通幅值的1.5倍。

這個圓就是電機定子產生的磁場的軌跡，對于永磁同步電機，其轉子是一個永磁體，當定子磁場均勻旋轉時，轉子永磁體被定子電流產生的電磁力拉著旋轉，這就是電機工作的原理。

在繪制定子磁場的軌跡時，想要得到其在某個時刻的坐標是比較麻煩的，因為abc三個坐標軸的磁場都會影響合成磁場的橫坐標，bc兩個坐標軸的磁場大小又都在影響著合成磁場的縱坐標。這就是因為三相定子繞組產生的磁場相互耦合。

在電機控制時，我們希望所有的輸出電流都產生轉矩，這樣才能達到最高的控制效率。(以表貼式永磁同步電機，id=0控制為例)為了達到這一目標，需要定子磁場和轉子磁場垂直。為此，首先要知道垂直于轉子磁場方向的定子磁場的大小，即q軸方向，以及其他方向的定子磁場的大小，而這個其他方向，為了簡化運算，就定義成了和q軸無關的方向，即d軸。

根據 d軸的定義,D軸的方向即轉子永磁體N極指向的方向，所以dq軸是隨轉子同步旋轉的。或者說，dq坐標系就是一個跟隨轉子永磁體同步旋轉的正交坐標系。

      αβ坐標系

為了得到dq坐標系下的定子磁場，首先構造一個不隨轉子旋轉的正交坐標系。為了簡便運算，定義 α軸為 α軸，定義 α 軸逆時針旋轉90度后的方向(與α軸正交)為為β軸。

       將abc坐標軸的磁場分別投影到αβ軸

同樣繪制dq坐標系下的合成磁場矢量，可以看到，其軌跡跟αβ坐標系下的軌跡完全一致.

三、數學模型

圖所示為三相兩極交流永磁同步電機的物理模型，定子三相繞組AX、BY、CZ在圓周空間上對稱分布，A、B、C是各繞組的首端，X、Y、Z是其尾端。在各繞組中規定首端流出電流，尾端流入電流為相電流的正方向。根據右手螺旋定則，各繞組產生磁場的方向規定為該繞組的正方向。

以這三個方向為空間坐標軸的參考軸線，建立的一個固定在定子繞組上的三相靜止坐標系即為ABC坐標系。其中，角速度和角位置的正方向為逆時針方向。由永磁體磁極軸線d軸以及垂直方向q軸確立的固定在轉子上的坐標系即為dq坐標系。d軸正方向為磁極N的方向，q軸正方向超前d軸90度。d軸超前A軸電角度為θ。

1)坐標變換

研究表明，在三相對稱繞組ABC中通過三相交流電流，兩相正交繞組αβ中通過兩相交流電流，以及兩相旋轉繞組dq中通過直流電流，都能夠產生旋轉磁場，因此三者是等效的，這是坐標變換的理論基礎。